Dieser Band ist aus Vorlesungen entstanden, die mein Freund und Kollege Thomsen und ich in Hamburg gehalten haben. Die Darstellung und nahere Ausfuhrung dieses Bandes geht allein auf Herrn Thomsen zuruck. Es handelt sich hier um die verschiedenen Arten der Kugelgeometrie, die sich alle einbauen lassen in die sogenannte hohere Kugelgeometrie von Lie und auf deren Boden systematisch zusammengefasst werden konnen. Die allgemeine Kugelgeometrie liefert ein Beispiel zur Aus einandersetzung der Ideen von Kleins Erlanger Programm, das an Schlagkraft dem der projektiven Geometrie gleichwertig, ja, wenn man zu den schwierigeren Fragen der Differentialgeometrie ubergeht, sogar uberlegen erscheint. Besonders handelt es sich um die Darstellung der Inversionsgeometrie des Raumes (oder, wie wir sagen wollen, um die Kugelgeometrie von Mobius) und um die Kugelgeometrie von Laguerre. Diese letztere Gruppe ist heute fur die Physik als Gruppe der speziellen Relativitatstheorie wichtig geworden. Von der Kugelgeometrie aus ge winnt man aber weiter auch Einblick in die verschiedenen Zweige der nichteuklidischen Geometrie. Endlich wird auch der Verwandtschaft der Kugelgeometrie von Lie mit der projektiven Geometrie Rechnung getragen. So findet sich die projektive Flachentheorie, wie sie ins besondere von Fubini und Cech begrundet und vor allem in Italien gepflegt worden ist, in den 90ff. von diesem Standpunkt aus in ihren Grundzugen entwickelt. So lasst sich wohl sagen, dass in den vorliegenden drei ersten Banden die Differentialgeometrie der wi htigsten endlichen geometrischen Gruppen im wesentlichen enthalten i