Kleins gruppen theoretischer Aufbau der Geometrie, wie er ihn zuerst 1872 in seinem "Erlanger Programm" entworfen und dann 1893 in seiner "Einleitung in die hohere Geometrie" naher ausgefuhrt hat, ist fur die Weiterentwicklung der Geometrie, ja auch der Physik heute so wichtig und lebendig als je. So wird vielleicht manchem eine Neuausgabe dieser Vorlesungen willkommen sein. Ich habe, um den personlichen Eindruck von Kleins Werk nicht zu verwischen, an dem fruheren "ersten Band" nur wenig geandert und nur wenig hinzugefugt. Hingegen habe ich den damit nur lose zusammenhangenden "zweiten Band," der eine Ein fuhrung in die Lehre von den stetigen und unstetigen Gruppen enthielt und eine vollige Umarbeitung notig gemacht hatte, weggelassen. An seine Stelle ist der "dritte Hauptteil" des vorliegenden Buches getreten, in dem einige neuere geometrische Untersuchungen dargestellt werden. Dabei haben mich mehrere befreundete Geometer unterstutzt: die Teile II und IV stammen von J. Radon (Erlangen), III im wesentlichen von E. Artin und V von o. Schreier (Hamburg). Ausser diesen Kollegen habe ich fur vielfache Hilfe noch zu danken den Herren L. Berwald (Prag), E. Bompiani (Bologna), H. Schatz und G. Thomsen (Hamburg). Hamburg, im Fruhjahr 1926. W. Blaschke. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung . . . 1 1. Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . 2 1,1. Funktionentheoretische Grundbegriffe. 2 1,2. Haupteinteilung der Geometrie 4 1,3. Nahere Ausfuhrung hierzu 4 Erster Hauptteil. Der allgemeine Koordinatenbegriff. Punktkoordinaten . 11 2. Linearkoordinaten . . . . . . 11 3. Pluckers Entwicklungen 15 4. Allgemeine krummlinige Koordinaten 18 5. Elliptische Koordinaten . . . . .